Matematika Sistem Bilangan

A.      Sejarah Sistem Bilangan

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat  (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M.Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann(1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard(1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics. Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya. Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan.

Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya:

1.    Simbol bilangan bangsa Babilonia sejak tahun 5000 SM.

Babilonia

2.    Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM.

3.    Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno.

4.    Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia. 

5.    Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno. 

6.    Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini.

Tokoh-tokoh Teori Bilangan

1.    Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

2.    Al-Kashi (1380 M)

Terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir disebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika. Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.

3.    Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)

Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.

B.       Bilangan Asli

Bilangan dapat diartikan sebagai himpunan dari bilangan-bilangan, beserta operasi-operasi yang berlaku di dalamnya, seperti penjumlahan, perkalian, ataupun operasi lainnya. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.. Bilangan dibedakan antara nilai dan lambangnya. Bilangan suatu hal yang penting dalam matematika, matematika tidak akan terlepas dari bilangan. Sistem bilangan setidaknya, meliputi: bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, serta bilangan kompleks.

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang lebih besar dari (nol). Himpunan bilangan ini dinotasikan dengan N. Oleh karena itu dapat dituliskan dengan,

N ={1,2,3,4,5, …}

Bilangan asli memiliki setidaknya 2 tujuan, yaitu 1) untuk menghitung (cardinal

number); 2) untuk menyatakan tingkatan (ordinal number).

Jika dalam himpunan tersebut ditambahkan dengan nol, maka menjadi himpunan

bilangan cacah, yaitu:

N+{0} = {0,1,2,3,4,5, …}

C.      Bilangan Bulat

Untuk menyatakan bilangan yang bernilai 2 kurangnya 0, adalah negatif 2 atau -2. Suhu di daerah kutub rata-rata 20° dibawah 0° dinyatakan -20°, untuk itu kita harus memperluas himpunan bilangan cacah dengan himpunan bilangan lain yaitu dengan himpunan lawan dari bilangan asli atau himpunan bilangan bulat negatif yang disebut bilangan bulat yaitu: {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}.

Sesuai dengan namanya, bulat, berarti tidak menyertakan pecahan, baik itu positif, negatif, ataupun bilangan nol. Dalam bilangan bulat, dikatakan positif jika bilangan tersebut lebih besar dari 0, dan dikatakan negatif jika bilangan tersebut lebih kecil dari 0. Bagaimana dengan 0 itu sendiri? Bilangan nol kita pergunakan untuk penulisan nilai tempat pada suatu sistem numerasi, sehingga kita dapat membedakan antara bilangan 21, 20, dan 201.

Bilangan bulat dinotasikan dengan Z (Zahlen, German for numbers) sehingga,

Z= {…, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5, …}

Bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan dua cara, yaitu dengan model himpunan dan model pengukuran. Dalam model himpunan, bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan keping berwarna. Misalkan, keeping warna hitam menunjukkan bilangan negatif dan keping warna putih menunjukkan bilangan positif. Bilangan 1 dapat direpresentasikan dengan satu keping berwarna putih, dan bilangan -1 dapat direpresentasikan dengan satu keping berwarna hitam. Sebuah keping berwarna hitam dan sebuah keping berwarna putih dapat saling menghapus. Dengan menggunakan konsep ini, bilangan bulat dapat direpresentasikan sebagai kumpulan keeping dengan beberapa cara. Misalkan bilangan -4, dapat direpresentasikan sebagai kumpulan keping sebagai berikut.

  ….. dan sebagainya.

Beberapa contoh bilangan-bilangan bulat lainnya dapat ditunjukkan sebagai berikut.

 

Masing-masing contoh bilangan bulat tersebut dapat direpresentasikan dalam berbagai cara. Bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan cara lain, yaitu dengan model pengukuran. Dalam hal ini, bilangan bulat ditunjukkan dengan noktah-noktah pada garis bilangan sebagai berikut.

 

                    

                 

Bilangan-bilangan bulat tersebut direpresentasikan secara simetris terhadap 0 dari kiri ke kanan pada garis bilangan. Bilangan bulat di sebelah kiri 0 menunjukkan bilangan negatif, sedangkan di kanan 0 menunjukkan bilangan positif. Lawan bilangan bulat a, ditulis dengan –a atau (-a). Dengan model pengukuran, lawan dari a ditunjukkan dengan bayangan a terhadap 0 pada garis bilangan. Lawan bilangan bulat positif adalah negatif, lawan bilangan bulat negatif adalah positif. Sedangkan lawan dari 0 adalah 0.

1.    Operasi Penjumlahan

Dengan model himpunan, penjumlahan dua bilangan bulat dilakukan dengan menggabungkan dua himpunan yang saling asing. Kedua himpunan tersebut merupakan representasi dari dua kumpulan keping. Beberapa penjumlahan dua bilangan bulat dengan model himpunan ditunjukkan sebagai berikut.

                       a.     2 + 5 = 7

 

                       b.     (-2) + (-4) = -6

c.     3 + (-5) = -2

 

Dengan model pengukuran, penjumlahan dua bilangan bulat dilakukan dengan menempatkan pangkal anak panah berarah pada ujung anak panah yang pangkalnya 0. Bilangan bulat positif ditunjukkan dengan anak panah yang arahnya ke kanan. Bilangan bulat negatif ditunjukkan dengan anak panah ke kiri. Beberapa penjumlahan bilangan bulat dengan model pengukuran ditunjukkan sebagai berikut.

                       a.     1 + 3 = 

 

Dari titik 0 melangkah ke kanan (maju) sebanyak 2 langkah (satuan) dilanjutkan dengan melangkah ke kanan (maju) sebanyak 3 langkah (satuan) lagi, dan hasilnya dapat dilihat pada garis bilangan, yaitu 1 + 3 = 4

                       b.     (-1) + (-4) = 

Dari titik 0 kita bergeser ke kiri sebanyak 1 satuan dan dilanjutkan dengan bergeser ke kiri lagi sebanyak 4 satuan dan hasilnya dapat dilihat pada garis bilangan, yaitu (-1) + (-4) = -5

                       c.     -2 + 6 = 

    

Dari titik 0 kita bergeser ke kiri sebanyak 2 satuan dan dilanjutkan dengan bergeser ke kanan sebanyak 6 satuan, dan hasilnya dapat dilihat pada garis bilangan yaitu -2 + 6 = 4

Aksioma penjumlahan bilangan bulat

Misalkan a dan b masing-masing merupakan bilangan bulat. 

a.  Penjumlahan dengan nol.

     a + 0 = a = 0 + a

b.  Penjumlahan dua bilangan bulat positif

     Misalkan a dan b masing-masing bilangan bulat positif. Jika A dan B dua 

     himpunan yang saling asing  dengan n(A) = a dan n(B) = b maka

     a + b = n  (AUB).

c.  Penjumlahan dua bilangan bulat negatif

     Misalkan a dan b masing-masing bilangan bulat positif. Berarti -a dan  -b masing-masing bilangan negatif sehingga (-a) + (-b) = - (a+b). Dalam hal ini, a + b merupakan jumlah dua bilangan positif.

d.  Penjumlahan bilangan positif dan negatif.

1)      Jika a dan b masing-masing bilangan bulat positif, dan a > b maka  a + (-b) =  a - b. Dalam hal ini, a - b merupakan selisih bilangan cacah a dan b.

2)       Jika a dan b masing-masing bilangan bulat positif, dan a < b maka, a + (-b) = - (b - a). Dalam hal ini, b - a merupakan selisih bilangan cacah a dan b.

2.    Operasi Pengurangan

Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan tentang representasi bilangan bulat sebagai kumpulan keping. Representasi tersebut dapat digunakan untuk menjelaskan pengurangan bilangan bulat melalui pengambilan langsung dan penjumlahan dengan lawan. Pengurangan bilangan bulat juga dapat dijelaskan dengan pemisalan.

Dengan model pengukuran, pengurangan dua bilangan bulat dilakukan dengan menempatkan pangkal anak panah berarah pada ujung anak panah yang pangkalnya 0. Bilangan bulat positif ditunjukkan dengan anak panah yang arahnya ke kanan. Bilangan bulat negatif ditunjukkan dengan anak panah ke kiri. Beberapa penjumlahan bilangan bulat dengan model pengukuran ditunjukkan sebagai berikut.

                       a.     4 - 7 = n

Dari titik 0 bergeser ke kanan 4 satuan, dilanjutkan dengan bergeser ke kiri sebanyak 7 satuan dan hasilnya menunjukkan titik -3.

                       b.     -5 - 3 = n

Dari titik 0 bergeser ke kiri sebanyak 5 satuan dilanjutkan bergeser ke kiri lagi sebanyak 3 satuan dan hasilnya menunjukkan titik -8.

                       c.     6 - (-2) = n

Mengurangi 6 oleh -2 sama artinya dengan menambah 6 oleh lawan -2, yaitu 2. Jadi, 6 - (-2) = 6 + 2 = 8 sehingga n = 8.

D.      Bilangan Rasional

1.    Pengertian Bilangan Rasional

Pada semesta himpunan bilangan bulat, persamaan: 5x + 3 = 0, tidak mempunyai selesaian. Oleh karena itu, himpunan bilangan bulat diperluas menjadi himpunan bilangan rasional sehingga persamaan tersebut mempunyai selesaian. Himpunan semua bilangan rasional didefinisikan sebagai berikut.

Definisi himpunan bilangan rasional:

Q = { | a dan b bilangan bulat, b ≠ 0}

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan perbandingan (rasio) , yang mana a adalah bilangan bulat, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.  

Contoh dari bilangan rasional  ,  ,  ,  , dan  . Bilangan rasional campuran -3  =  , -5  =  dan 2  =  .

2.    Kesamaan Bilangan Rasional

Bilangan-bilangan rasional  dan  adalah sama, ditulis  =  jika dan hanya jika ad=bc.

Contoh :

                       a.      =  sebab 3 × 12 = 4 × 9 = 36

                       b.      =  sebab 15 (-20) = 5 (-60) = -300

                       c.      ≠  sebab 4(10) dan 7(6) atau 40 ≠ 42

3.    Sifat-sifat Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu sistem atau struktur dengan sifat-sifat tertentu. Beberapa sifat mendasar operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan rasional adalah berikut ini.

                       a.     Sifat Ketertutupan

 .  =

                      b.     Sifat Komutatif

 .  =  .

                       c.     Sifat Asosiatif

(  . )  =  ( )

                      d.     Sifat Identitas

 . 1 =  = 1.   (1 = )

                       e.     Sifat Inverse

Untuk sebarang  ϵ Q ada x ϵ Q dan y ϵ Q yang masing-masing adalah tunggal sehingga :

 + x = x +  = 0

 . y = y .  = 1

x disebut inverse penjumlahan (lawan) dari  , ditulis dengan x = 

y disebut inverse perkalian (kebalikan) dari  , ditulis dengan y =  =  

                        f.     Sifat Distributif

Jika  ,  dan  adalah sebarang unsure Q maka

 . [  +  ] =  .  +

4.    Bilangan Rasional Desimal

Ada banyak lambang yang dapat digunakan untuk memberi nama bilangan, tetapi setiap lambang hanya mewakili sebuah bilangan. Lambang bilangan yang digunakan sampai sekarang adalah lambang Romawi dan lambang Hindu-Arab.

Lambang bilangan Hindu-Arab yang menggunakan nilai tempat ini menggunakan perpangkatan bulat dari sepuluh untuk setiap posisi atau tempat, sehingga disebut decimal.

Dalam kaitannya dengan bilangan rasional pecahan, Simon Stevin (Belanda), pada abad 16 memperkenalkan cara menuliskan pecahan dalam bentuk decimal sebagai berikut :

                       a.     Tanda koma diletakkan setelah angka satuan.

                       b.     Satu angka bilangan setelah koma menyatakan persepuluhan.

                       c.     Setiap satu angka bilangan berikutnya, secara berturut-turut menyatakan perseratusan, perseribuan dan seterusnya.

                      d.     Bilangan-bilangan rasional dengan penyebut 10 mempunyai satu tempat decimal, penyebut 100 mempunyai dua tempat decimal, penyebut 1000 mempunyai tiga tempat decimal, dan seterusnya.

Cara Simon Stevin untuk menuliskan bilangan rasional pecahan dinamakan notasi decimal yang diperluas.

Contoh :

                       a.     Bilangan-bilangan rasional persepuluhan mempunyai satu angka decimal setelah koma.

1)    = 0,3

2)    =  = 2,8

3)    =  = 12,7

                       b.     Bilangan-bilangan rasional perseratusan mempunyai dua angka decimal setelah koma.

1)    = 0,35

2)    =  = 1,23

3)    =  = 56,78

                       c.     Bilangan-bilangan decimal dapat ditulis menjadi bilangan rasional pecahan dengan penyebut yang sesuai dengan banyaknya angka decimal setelah koma.

1)   0,2 =

2)   0,40 =

3)   1,135 =

A.      Sejarah Sistem Bilangan

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat  (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M.Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann(1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard(1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics. Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya. Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan.

Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya:

1.    Simbol bilangan bangsa Babilonia sejak tahun 5000 SM.

2.    Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM.

3.    Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno.

4.    Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia.

5.    Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno.

6.    Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini.

Tokoh-tokoh Teori Bilangan

1.    Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.

2.    Al-Kashi (1380 M)

Terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir disebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika. Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.

3.    Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)

Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya, seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.

B.       Bilangan Asli

Bilangan dapat diartikan sebagai himpunan dari bilangan-bilangan, beserta operasi-operasi yang berlaku di dalamnya, seperti penjumlahan, perkalian, ataupun operasi lainnya. Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran.. Bilangan dibedakan antara nilai dan lambangnya. Bilangan suatu hal yang penting dalam matematika, matematika tidak akan terlepas dari bilangan. Sistem bilangan setidaknya, meliputi: bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, serta bilangan kompleks.

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang lebih besar dari (nol). Himpunan bilangan ini dinotasikan dengan N. Oleh karena itu dapat dituliskan dengan,

N ={1,2,3,4,5, …}

Bilangan asli memiliki setidaknya 2 tujuan, yaitu 1) untuk menghitung (cardinal

number); 2) untuk menyatakan tingkatan (ordinal number).

Jika dalam himpunan tersebut ditambahkan dengan nol, maka menjadi himpunan

bilangan cacah, yaitu:

N+{0} = {0,1,2,3,4,5, …}

C.      Bilangan Bulat

Untuk menyatakan bilangan yang bernilai 2 kurangnya 0, adalah negatif 2 atau -2. Suhu di daerah kutub rata-rata 20° dibawah 0° dinyatakan -20°, untuk itu kita harus memperluas himpunan bilangan cacah dengan himpunan bilangan lain yaitu dengan himpunan lawan dari bilangan asli atau himpunan bilangan bulat negatif yang disebut bilangan bulat yaitu: {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}.

Sesuai dengan namanya, bulat, berarti tidak menyertakan pecahan, baik itu positif, negatif, ataupun bilangan nol. Dalam bilangan bulat, dikatakan positif jika bilangan tersebut lebih besar dari 0, dan dikatakan negatif jika bilangan tersebut lebih kecil dari 0. Bagaimana dengan 0 itu sendiri? Bilangan nol kita pergunakan untuk penulisan nilai tempat pada suatu sistem numerasi, sehingga kita dapat membedakan antara bilangan 21, 20, dan 201.

Bilangan bulat dinotasikan dengan Z (Zahlen, German for numbers) sehingga,

Z= {…, -4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4,5, …}

Bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan dua cara, yaitu dengan model himpunan dan model pengukuran. Dalam model himpunan, bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan keping berwarna. Misalkan, keeping warna hitam menunjukkan bilangan negatif dan keping warna putih menunjukkan bilangan positif. Bilangan 1 dapat direpresentasikan dengan satu keping berwarna putih, dan bilangan -1 dapat direpresentasikan dengan satu keping berwarna hitam. Sebuah keping berwarna hitam dan sebuah keping berwarna putih dapat saling menghapus. Dengan menggunakan konsep ini, bilangan bulat dapat direpresentasikan sebagai kumpulan keeping dengan beberapa cara. Misalkan bilangan -4, dapat direpresentasikan sebagai kumpulan keping sebagai berikut.

  ….. dan sebagainya.

Beberapa contoh bilangan-bilangan bulat lainnya dapat ditunjukkan sebagai berikut.

Masing-masing contoh bilangan bulat tersebut dapat direpresentasikan dalam berbagai cara. Bilangan bulat dapat direpresentasikan dengan cara lain, yaitu dengan model pengukuran. Dalam hal ini, bilangan bulat ditunjukkan dengan noktah-noktah pada garis bilangan sebagai berikut.

                    

                 

Bilangan-bilangan bulat tersebut direpresentasikan secara simetris terhadap 0 dari kiri ke kanan pada garis bilangan. Bilangan bulat di sebelah kiri 0 menunjukkan bilangan negatif, sedangkan di kanan 0 menunjukkan bilangan positif. Lawan bilangan bulat a, ditulis dengan –a atau (-a). Dengan model pengukuran, lawan dari a ditunjukkan dengan bayangan a terhadap 0 pada garis bilangan. Lawan bilangan bulat positif adalah negatif, lawan bilangan bulat negatif adalah positif. Sedangkan lawan dari 0 adalah 0.

1.    Operasi Penjumlahan

Dengan model himpunan, penjumlahan dua bilangan bulat dilakukan dengan menggabungkan dua himpunan yang saling asing. Kedua himpunan tersebut merupakan representasi dari dua kumpulan keping. Beberapa penjumlahan dua bilangan bulat dengan model himpunan ditunjukkan sebagai berikut.

                       a.     2 + 5 = 7

                       b.     (-2) + (-4) = -6

                       c.     3 + (-5) = -2

Dengan model pengukuran, penjumlahan dua bilangan bulat dilakukan dengan menempatkan pangkal anak panah berarah pada ujung anak panah yang pangkalnya 0. Bilangan bulat positif ditunjukkan dengan anak panah yang arahnya ke kanan. Bilangan bulat negatif ditunjukkan dengan anak panah ke kiri. Beberapa penjumlahan bilangan bulat dengan model pengukuran ditunjukkan sebagai berikut.

                       a.     1 + 3 =

 

Dari titik 0 melangkah ke kanan (maju) sebanyak 2 langkah (satuan) dilanjutkan dengan melangkah ke kanan (maju) sebanyak 3 langkah (satuan) lagi, dan hasilnya dapat dilihat pada garis bilangan, yaitu 1 + 3 = 4

                       b.     (-1) + (-4) =

Dari titik 0 kita bergeser ke kiri sebanyak 1 satuan dan dilanjutkan dengan bergeser ke kiri lagi sebanyak 4 satuan dan hasilnya dapat dilihat pada garis bilangan, yaitu (-1) + (-4) = -5

                       c.     -2 + 6 =

    

Dari titik 0 kita bergeser ke kiri sebanyak 2 satuan dan dilanjutkan dengan bergeser ke kanan sebanyak 6 satuan, dan hasilnya dapat dilihat pada garis bilangan yaitu -2 + 6 = 4

Aksioma penjumlahan bilangan bulat

Misalkan a dan b masing-masing merupakan bilangan bulat. 

a.  Penjumlahan dengan nol.

     a + 0 = a = 0 + a

b.  Penjumlahan dua bilangan bulat positif

     Misalkan a dan b masing-masing bilangan bulat positif. Jika A dan B dua 

     himpunan yang saling asing  dengan n(A) = a dan n(B) = b maka

     a + b = n  (AUB).

c.  Penjumlahan dua bilangan bulat negatif

     Misalkan a dan b masing-masing bilangan bulat positif. Berarti -a dan  -b masing-masing bilangan negatif sehingga (-a) + (-b) = - (a+b). Dalam hal ini, a + b merupakan jumlah dua bilangan positif.

d.  Penjumlahan bilangan positif dan negatif.

1)      Jika a dan b masing-masing bilangan bulat positif, dan a > b maka  a + (-b) =  a - b. Dalam hal ini, a - b merupakan selisih bilangan cacah a dan b.

2)       Jika a dan b masing-masing bilangan bulat positif, dan a < b maka, a + (-b) = - (b - a). Dalam hal ini, b - a merupakan selisih bilangan cacah a dan b.

2.    Operasi Pengurangan

Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan tentang representasi bilangan bulat sebagai kumpulan keping. Representasi tersebut dapat digunakan untuk menjelaskan pengurangan bilangan bulat melalui pengambilan langsung dan penjumlahan dengan lawan. Pengurangan bilangan bulat juga dapat dijelaskan dengan pemisalan.

Dengan model pengukuran, pengurangan dua bilangan bulat dilakukan dengan menempatkan pangkal anak panah berarah pada ujung anak panah yang pangkalnya 0. Bilangan bulat positif ditunjukkan dengan anak panah yang arahnya ke kanan. Bilangan bulat negatif ditunjukkan dengan anak panah ke kiri. Beberapa penjumlahan bilangan bulat dengan model pengukuran ditunjukkan sebagai berikut.

                       a.     4 - 7 = n

Dari titik 0 bergeser ke kanan 4 satuan, dilanjutkan dengan bergeser ke kiri sebanyak 7 satuan dan hasilnya menunjukkan titik -3.

                       b.     -5 - 3 = n

Dari titik 0 bergeser ke kiri sebanyak 5 satuan dilanjutkan bergeser ke kiri lagi sebanyak 3 satuan dan hasilnya menunjukkan titik -8.

                       c.     6 - (-2) = n

Mengurangi 6 oleh -2 sama artinya dengan menambah 6 oleh lawan -2, yaitu 2. Jadi, 6 - (-2) = 6 + 2 = 8 sehingga n = 8.

D.      Bilangan Rasional

1.    Pengertian Bilangan Rasional

Pada semesta himpunan bilangan bulat, persamaan: 5x + 3 = 0, tidak mempunyai selesaian. Oleh karena itu, himpunan bilangan bulat diperluas menjadi himpunan bilangan rasional sehingga persamaan tersebut mempunyai selesaian. Himpunan semua bilangan rasional didefinisikan sebagai berikut.

Definisi himpunan bilangan rasional:

Q = { | a dan b bilangan bulat, b ≠ 0}

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan perbandingan (rasio) , yang mana a adalah bilangan bulat, b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0.  

Contoh dari bilangan rasional  ,  ,  ,  , dan  . Bilangan rasional campuran -3  =  , -5  =  dan 2  =  .

2.    Kesamaan Bilangan Rasional

Bilangan-bilangan rasional  dan  adalah sama, ditulis  =  jika dan hanya jika ad=bc.

Contoh :

                       a.      =  sebab 3 × 12 = 4 × 9 = 36

                       b.      =  sebab 15 (-20) = 5 (-60) = -300

                       c.      ≠  sebab 4(10) dan 7(6) atau 40 ≠ 42

3.    Sifat-sifat Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk suatu sistem atau struktur dengan sifat-sifat tertentu. Beberapa sifat mendasar operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan rasional adalah berikut ini.

                       a.     Sifat Ketertutupan

 .  =

                      b.     Sifat Komutatif

 .  =  .

                       c.     Sifat Asosiatif

(  . )  =  ( )

                      d.     Sifat Identitas

 . 1 =  = 1.   (1 = )

                       e.     Sifat Inverse

Untuk sebarang  ϵ Q ada x ϵ Q dan y ϵ Q yang masing-masing adalah tunggal sehingga :

 + x = x +  = 0

 . y = y .  = 1

x disebut inverse penjumlahan (lawan) dari  , ditulis dengan x = 

y disebut inverse perkalian (kebalikan) dari  , ditulis dengan y =  =  

                        f.     Sifat Distributif

Jika  ,  dan  adalah sebarang unsure Q maka

 . [  +  ] =  .  +

4.    Bilangan Rasional Desimal

Ada banyak lambang yang dapat digunakan untuk memberi nama bilangan, tetapi setiap lambang hanya mewakili sebuah bilangan. Lambang bilangan yang digunakan sampai sekarang adalah lambang Romawi dan lambang Hindu-Arab.

Lambang bilangan Hindu-Arab yang menggunakan nilai tempat ini menggunakan perpangkatan bulat dari sepuluh untuk setiap posisi atau tempat, sehingga disebut decimal.

Dalam kaitannya dengan bilangan rasional pecahan, Simon Stevin (Belanda), pada abad 16 memperkenalkan cara menuliskan pecahan dalam bentuk decimal sebagai berikut :

                       a.     Tanda koma diletakkan setelah angka satuan.

                       b.     Satu angka bilangan setelah koma menyatakan persepuluhan.

                       c.     Setiap satu angka bilangan berikutnya, secara berturut-turut menyatakan perseratusan, perseribuan dan seterusnya.

                      d.     Bilangan-bilangan rasional dengan penyebut 10 mempunyai satu tempat decimal, penyebut 100 mempunyai dua tempat decimal, penyebut 1000 mempunyai tiga tempat decimal, dan seterusnya.

Cara Simon Stevin untuk menuliskan bilangan rasional pecahan dinamakan notasi decimal yang diperluas.

Contoh :

                       a.     Bilangan-bilangan rasional persepuluhan mempunyai satu angka decimal setelah koma.

1)    = 0,3

2)    =  = 2,8

3)    =  = 12,7

                       b.     Bilangan-bilangan rasional perseratusan mempunyai dua angka decimal setelah koma.

1)    = 0,35

2)    =  = 1,23

3)    =  = 56,78

                       c.     Bilangan-bilangan decimal dapat ditulis menjadi bilangan rasional pecahan dengan penyebut yang sesuai dengan banyaknya angka decimal setelah koma.

1)   0,2 =

2)   0,40 =

3)   1,135 =

unida.co.id